2008년07월27일 73번

[사회통계]
이 공장에서 만든 나사못 중 400개를 임의로 뽑았을 때 불량품 개수 X의 표본분포의 평균과 표준편차는?

① 평균 : 30, 표준편차 : 6
② 평균 : 40, 표준편차 : 36
③ 평균 : 30, 표준편차 : 36
④ 평균 : 40, 표준편차 : 6

(정답률: 44%)

문제 해설

이 문제는 이항분포를 사용하여 해결할 수 있습니다. 이항분포는 성공확률이 p인 베르누이 시행을 n번 반복했을 때 성공횟수 X의 분포입니다. 이 문제에서는 불량품의 비율이 주어지지 않았으므로, 모집단에서 불량품의 비율을 p로 가정합니다.

이 공장에서 만든 나사못 중 불량품의 비율을 p라고 가정하면, 성공확률은 1-p입니다. 400개를 뽑았을 때 불량품의 개수 X는 이항분포를 따릅니다. 이항분포의 평균은 np, 표준편차는 √(np(1-p))입니다.

따라서, 평균은 400p, 표준편차는 √(400p(1-p))입니다. 이 문제에서는 정답이 "평균 : 40, 표준편차 : 6" 이므로, 다음과 같은 방정식을 풀면 됩니다.

400p = 40
√(400p(1-p)) = 6

첫 번째 방정식에서 p = 0.1을 구할 수 있습니다. 두 번째 방정식에서 √(400p(1-p)) = 6을 정리하면, p(1-p) = 0.09가 됩니다. 이 방정식을 만족하는 p는 0.1과 0.9입니다. 하지만, 불량품의 비율이 0.9인 경우에는 평균이 360이 되므로, 이 문제에서는 p = 0.1인 경우만 고려합니다.

따라서, 이 공장에서 만든 나사못 중 400개를 임의로 뽑았을 때 불량품 개수 X의 표본분포의 평균은 400 × 0.1 = 40이고, 표준편차는 √(400 × 0.1 × 0.9) ≈ 6입니다. 따라서, 정답은 "평균 : 40, 표준편차 : 6"입니다.

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